１．２NＧS方程

流體的控制方程采用描述流體運動規律的NavierＧStokes(NＧS)方程，其形式為：?·u＝０(２) ? u ? t＋u·? u＋１ ρ? P＝ g＋ ν?２ u(３)其中，u為速度場；P為壓力場；ν為流體的動力學黏度；ρ為密度；?為空間梯度算符；g為外力；?２為拉普拉斯運算符。(２)式、(３)式分別代表流體運動的質量與動量守恒定律。使用SPH方法求解NＧS方程的基本過程如下：ρi＝∑ N j＝１ mjW(xi－xj, h)(４) pi＝ k( ρi－ ρ０)(５) f p i＝－∑ N j＝１ mj pi＋ pj ２ ρj ? W(xi－xj, h)(６) f ν i＝ μ∑ N j＝１ mj uj－ ui ρj ?２ W(xi－xj, h)(７)其中，k為氣體狀態方程常數；ρ０為流體的靜止密度；f p i、f ν i分別為粒子所受的壓力和黏性力；pi、pj分別為第i個、第j個粒子的壓強；ui、 uj分別為第i個、第j個粒子的速度。

２改進的CSF流體表面張力模型

２．１CSF流體表面張力模型

CSF模型流體表面張力的實施首先是對流場定義色標函數，位于流體粒子位置的色標值為１，位于流體粒子之外位置的色標值為０。通過已定義的色標函數場，可以得到表面法向以及表面曲率，通過表面法向和表面曲率的信息得到表面張力，計算公式為：fs＝ σk( x) ^n(８)其中，σ為表面張力系數；k( x)為表面 x處的曲率；^n為界面的單位法向。法向 n的計算公式為：n＝? c( x)(９)其中，c( x)為人為引入的色標函數。曲率計算公式為：k＝－(?· ^n)(１０)

２．２改進的CSF流體表面張力模型

２．２．１流體表面的切向力

傳統的流體表面張力的求解只是對色標函數求梯度，表面張力的方向就是色標函數的梯度方向，也就是說傳統的流體表面張力的方向和表面法向相同；傳統的流體表面張力模擬將表面的法向力作為表面張力，由于近似計算導致的計算誤差使得流體表面張力的模擬很難到達自然界中的平滑狀態，會出現凹凸不平，甚至尖角的模擬效果。本文在傳統的CSF流體表面張力的基礎上，考慮流體表面的法向力和切向力的綜合作用，使得流體表面達到足夠光滑。流體表面張力的切向力f切向i計算公式為：f切向i＝－∑j mimj ρiρj λ( ni－ nj) W( xi－ xj, h) (１１)其中，λ為一個可調節的參數。對于任意一對相鄰的流體粒子i和j，有f切向i← j＝－ mimj ρiρj λ( ni－ nj) W( xi－ xj, h), f切向j← i＝－ f切向 i← j ì ? í ?? ?? (１２)其中，f切向i← j、f切向 j← i分別為粒子j對粒子i的切向力、粒子i對粒子j的切向力。因為所施加的表面張力切向力是對稱的，所以切向力的施加能夠保持系統的動量守恒條件。

２．２．２密度修正

針對CSF流體表面張力模型中流體表面的粒子數目較少，流體表面的流體粒子密度求和的邊界截斷誤差較大，進而導致流體表面張力模擬不穩定的問題，本文對邊界粒子的密度進行修正，計算公式為：ρi＝∑ N j＝１ mjWij∑ N j＝１ mj ρj Wij(１３)其中，Wij＝ W( xi－ xj, h)。

２．３本文算法流程

（１）流體粒子初始布局。（２）利用修正的密度求和公式計算流體粒子密度。（３）對所有粒子j，計算其壓強pj。（４）對所有粒子j，計算其壓力f p j和黏性力f ν j。（５）計算流體粒子j的表面張力。（６）更新流體粒子j的速度與位置。（７）返回步驟（２）。

３仿真實驗結果

分別用文獻方法、文獻方法及本文方法模擬在表面張力作用下水珠的形成過程，對比它們的模擬效果，如圖１所示。圖１方形液滴在表面張力作用下的變形３４１第１期汪歡歡，等：改進的CSF流體表面張力模型實驗在Window７平臺上進行，采用Visual Studio２０１３。實驗環境為Intel(R)Core(TM) i５Ｇ２４００，３．１０GHzCPU，４G內存，NVIDIA GeＧ forceGT６２０顯卡，實驗所采用的流體粒子數目為１０２４。模擬總幀數為５００，文獻方法、文獻方法及本文方法分別用時９．１２、９．８７、９．３４s。從實驗結果可以看出，本文方法與文獻方法、文獻方法的模擬時間差異很小，但本文方法模擬的水珠達到穩定狀態時表面更加圓滑，這說明本文方法可以更準確、有效地模擬流體表面張力。

４結論

本文提出一種改進的流體表面張力處理算法，該算法在傳統CSF模型流體表面張力的基礎上，施加切向力，并且對于流體的邊界粒子進行密度修正。從實驗結果可以看出，本文提出的改進的CSF流體表面張力算法能夠很好地模擬流體表面張力效果；與其他方法模擬結果相比，本文方法改善了流體表面的光滑性。